梯度折射率光纤光学系统之径向梯度折射率光纤

                                      梯度折射率光纤光学系统之径向梯度折射率光纤

梯度折射率光纤根据其折射率分布形式分为三种。第一种是径向梯度折射率分布，即在光轴的横截面径向方向上折射率是变化的，且相对光轴成旋转对称变化，因此由径向梯度折射率材料做成的光纤具有自聚焦作用。第二种是轴向梯度分布，其折射率是沿光轴方向变化的，但在与光轴垂直的横截面上折射率是均匀的。第三种是球形梯度折射率分布，其折射率是以一点为对称而变化的，所以等折射率面为一球面。 从上三种形式的梯度折射率光纤, 由于制造上的难度, 目前只能生产第一和第二种，且第一种比第二种容易生产，而第一种又具有聚焦和成像特性，因此往往是人们讨论的重点。

一、径向梯度折射率光纤

光 在二种均匀介质的光滑分界面上传播时，其折射光遵守折射定律。若有一系列折射率均匀的介质被分成若干层，其折射率分别为n1>n2>n3，光 线在第一种介质中以入射角U1入射在第一和第二种介质的分界面上时将发生折射，折射光在第二和第三、第三和第四…等介质的分界面上时也将发生折射。折射光 线的轴迹为一折线，且折射光线的方向与各层介质的折射率大小有关。当各层介质的厚度趋于零时，折射光线的轨迹变成一曲线。

光线在多层介质中的折射

光线在梯度折射率介质中的折射

梯度折射率光纤中的光线传播

若介质是以光轴处的折射率更高，沿截面径向方向的折射率逐渐减小而做成的光纤。图中的Z轴坐标与光纤光 轴重合，r表示光纤的径向坐标。若有一光线入射在光纤端面的光轴处O点，其入射角 大小为U0，折射曲线在O点的切线与Z轴的夹角为U0'，根据折射定律有

n(0)为光纤光轴处的折射率。

根据上述分析，在径向梯度折射率光纤中连续运用折射定律可得

式中，U'为轨迹曲线上任意一点P的切线与Z轴的夹角。因为随着r的增大，n(r)越来越小，U'角一定会越来越小。若r=R时，U'=0，则表示光线的轨迹在此处为拐点，曲线开始向下弯曲，可得

n(R)表示r=R处的折射率。

因为

所以

上式说明径向梯度折率光纤子午光线的数值孔径n0sinU0与n(0)和n(R)有关。

根据上面的讨论，径向梯度折射率光纤中光线的传播轨迹与折射率分布n(r)有关。根据费马原理，光线在介质中传播时，光线是沿着光程为极值的路径传播的，所以有

式中，ds为距离光轴为r处的光线元长度，积分域为一个周期。以任意角度入射的子午光线在径向梯度折射率光纤中传播一个周期，不管其光线的轨迹如何变化，它们的光程长度是常数，换言之，任意光线的轴向速度为常数。下面我们来求满足折射率分布和光线轨迹方程。

因为

说明满足等光程条件的径向梯度折射率光纤，其折射率的变化应满足式积分形式。假定在径向梯度折射率光纤中，子午光线的轴迹方程为正弦（或余弦）形式，即

式中，，L为周期长度。得

当Z=0时，，所以有

上式说明径向梯度折射率光纤中近轴子午光线的传播轨迹为正弦变化时，其折射率的变化近似为抛物线型分布，且近轴子午光线具有聚焦作用。所以径向梯度折射率光纤又称为自聚焦光纤。